El mundo no
es como lo pintan:
mentiras y verdades de un mapa
Sergio de Régules
EL ABUSO DE UN MAPA ORIGINALMENTE CONCEBIDO PARA HACERLES LA VIDA FÁCIL A LOS NAVEGANTES NOS HA DADO UNA IMAGEN DISTORSIONADA DE LA GEOGRAFÍA DE LA TIERRA
.EL PESADO GALEÓN conocido como la Nao de China se apresta a zarpar del puerto novohispano de Acapulco con destino a Manila, en las islas Filipinas. El capitán se acaricia las barbas. Es su primer viaje a Oriente.
—Hum... —dice.
Y no es para menos: está a punto de emprender una travesía larga y peligrosa. El océano equivocadamente llamado Pacífico es traicionero y allá, en altamar, aguardan los piratas.
—Hum, hum... —dice el capitán.
Más que las marejadas y los fili-busteros le preocupa un problema práctico que se enuncia en cuatro palabras:
¿Hacia dónde está Manila?
El imperio de la brújula
Por suerte el capitán, aunque novato, cuenta con todo el arsenal del marino moderno (del siglo XVII). En una cubierta inferior de la Nao, junto al timón, se encuentra la bitácora, armario en el que se guarda la brújula. Al lado de la bitácora hay otro armario atestado de mapas. La brújula y los mapas son el tesoro más preciado del marino.
El capitán saca un rollo y lo extiende sobre una mesa, sujeta las esquinas del plano con lo primero que encuentra y dice:
—Hum, hum, hum...
Ante sus ojos se encuentra la máxima maravilla de la cartografía: el mapa que el cartógrafo flamenco Gerard Mercator publicó en 1569. Es un mapa hecho especialmente para la navegación, pilar de la economía del mundo de la época. La imagen de los accidentes geográficos que pinta el mapa atiende únicamente a los intereses y preocupaciones de los navegantes. Éstos sólo quieren saber qué rumbo tomar para ir del puerto A al puerto B. No les interesa si África es más extensa que Rusia, ni cómo se compara en área Europa con el Reino del Perú. Los tamaños relativos de países y continentes son cosa de estudiosos, no de marinos.
Tampoco les interesa saber cuál es el camino más corto entre A y B, sino cuál es el más fácil, dados los instrumentos de navegación con los que cuentan en esa época. Uno de los más importantes es, desde luego, la brújula. La forma más fácil de navegar de un puerto a otro en el siglo XVII es seguir una misma dirección de la brújula, sin desviaciones; es decir, navegar por una trayectoria de rumbo fijo.
Pero, ¿qué rumbo fijo seguir para llegar de Acapulco a Manila? El mapa de Mercator, esa joya cartográfica, proporciona la información deseada. El capitán toma un trozo de carbón y una regla, la tiende sobre el mapa entre los dos puertos y traza una recta. La orientación de esa recta da el rumbo fijo que hay que seguir.
 Planisferio según la trayectoria de Mercator, 1780. |
Con esta información, bien lo sabe el capitán, se orienta
la nave en la dirección indicada, se mantiene el rumbo fijo según
la brújula, se espera el tiempo suficiente y se acaba por llegar,
si no lo impiden las tormentas ni los piratas.
Geometría esférica
La operación de trazar la recta que une origen y destino para
saber hacia dónde dirigirse quizá te parezca sencilla
y hasta evidente. Después de todo, en un plano la distancia más
corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une, y para ir
del uno al otro basta seguir esa recta sin desviarse. ¿Por qué
habrían de ser distintas las cosas en un mapa?
Porque un mapa es un plano, en efecto, pero un plano que representa
la superficie esférica de la Tierra. En las esferas, las
líneas y figuras de la geometría plana tradicional que
nos enseñan en la escuela se comportan de maneras extrañas.
Por ejemplo, en el plano la suma de los ángulos internos de cualquier
triángulo siempre es igual a 180°. En la esfera, en cambio,
la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre
es mayor que 180°.
Las rectas también se toman ciertas libertades al pasar del plano
a la esfera, de modo que lo que es recta en el mapa será otra
cosa en la esfera de la Tierra. ¿Qué otra cosa? Eso depende
de la proyección que se haya empleado para trazar el mapa. La
proyección es la manera particular en que se llevan los puntos
de la esfera al plano, y las hay de muchos tipos. El cartógrafo
usa la proyección que más conviene al propósito
de su mapa. La proyección de Gerard Mercator tiene la gracia
de transformar en rectas las trayectorias de rumbo fijo, pero en la
superficie terrestre éstas no son rectas. ¿Qué son entonces?
 Versión moderna del mapa del mundo de Gerard Mercator, un mapa hecho para facilitarles la vida a los navegantes que usaban brújula. |
Trayectorias de rumbo fijo
Los matemáticos saben qué forma tienen las trayectorias
de rumbo fijo en la esfera por lo menos desde 1550, pero yo lo descubrí
por accidente y de la manera más insólita hace apenas
unos años. Les contaré.
Soy fanático del simulador de vuelo de cierta compañía
de software archiconocida, lo confieso sin vergüenza. Un
día, adquiridas ya las habilidades de control y navegación
del avión virtual —y con muchas horas de ocio por delante—,
se me ocurrió hacer el vuelo México-París en tiempo
real. El programa no contempla esta clase de locuras (me imagino que
no debe ser normal estar dispuesto a pasarse quién sabe cuántas
horas delante de la computadora esencialmente sin hacer nada). No hay
en su mundo virtual radiofaros suficientes para un vuelo tan largo (un
radiofaro emite una señal de radio que permite a los pilotos
orientarse). Tampoco hay nada que indique el rumbo a seguir.
Pero pulsando un botón sale en la pantalla de la computadora
un mapa con la siguiente propiedad: el avión siempre aparece
al centro, orientado hacia arriba; el resto del mundo se distribuye
a su alrededor en un disco. Cuando el avión da vuelta, es el
mundo el que gira. (No me di cuenta en ese momento de que lo que tenía
ante los ojos era un mapa en una proyección interesantísima,
de la cual les hablaré más adelante).
De modo que viré hacia la derecha y esperé a que París
se pusiera justo enfrente de mi avión, lo cual ocurrió
cuando la nave alcanzó el rumbo del Noreste, rumbo que abreviaremos
así: E 45°N, y que forma un ángulo de 45° con
la dirección Norte. Hecho esto, programé el piloto automático
para que conservara ese rumbo y fui a hacerme un café.
Bebido el café, consulto el mapa y observo con asombro que el
avión ya no se dirige a París. Qué raro. Corrijo
el curso con el mismo método: virando hacia la derecha y esperando
a que París se me ponga enfrente. Reprogramo el piloto automático
para seguir el nuevo rumbo y me pongo a leer.
Al rato, lo mismo: el avión va fuera de curso. ¿Qué
pasa? ¿No sirve el piloto automático? Entonces se me conecta
el cerebro: el piloto automático sí sirve y está
haciendo su trabajo a las mil maravillas, ¡pero la Tierra es redonda!
(No me digan que ya lo sabían…).
Cuando un avión vuela con rumbo fijo su trayectoria forma el
mismo ángulo con todos los meridianos que cruza, sin importar
la latitud. Se encuentre donde se encuentre —en el ecuador o en
las regiones polares—, mi avión debe cortar los meridianos
a 45° para dirigirse siempre al Noreste. En el mapa de Mercator
los meridianos son rectas paralelas, de modo que la trayectoria de rumbo
constante E 45° N es una recta inclinada a 45°.
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Pero en la
superficie esférica de la Tierra los meridianos convergen en
un punto en los polos. Para cortar los meridianos con el mismo ángulo
en todas partes, la trayectoria del avión tiene que torcerse
continuamente hacia el polo conforme aumenta la latitud.
Para entonces he perdido interés en ir a París (por lo
menos virtualmente) y me dispongo a comprobar si sucede lo que creo
que sucede si dejo volar mi avión en piloto automático
hasta las regiones polares. Al cabo de muchas horas, cuando la crucecita
que indica la posición del avión en el mapa está
muy cerca del Polo Norte, el disco mundial empieza a girar más
y más rápido: el avión se aproxima al polo en círculos
cada vez más apretados. ¡He descubierto que en la esfera
las trayectorias de rumbo fijo son espirales que se enroscan alrededor
de los polos sin jamás tocarlos! (¿Quién dijo que
los videojuegos eran una pérdida de tiempo?)
Desde luego, en la práctica, uno nunca sigue una trayectoria
de rumbo fijo en toda su extensión (que, por cierto, es infinita
porque la curva nunca llega al polo), sino sólo un segmento.
 Triágulo esférico formado por dos segmentos de meridiano y un segmento del ecuador. Como cada meridiano forma un ángulo de 90° con el ecuador, la suma de los ángulos internos de este triángulo es mayor que 180°. Lo mismo se puede decir de todos los triángulos esféricos. |
Las curvas menos curvas
Las trayectorias de rumbo fijo también se llaman loxodromias
(de loxós, oblicuo, y dromos, carrera). Las estudió el
matemático y cartógrafo portugués Pedro Nunes en
1550. Nunes pensaba que la distancia más corta entre dos puntos
de la superficie terrestre era el segmento de loxodromia que los une,
lo cual parece muy razonable —sobre todo sabiendo que los rumbos
fijos se transforman en rectas en el mapa de Mercator—, pero es
falso. Las loxodromias te llevarán de A a B por el camino más
fácil, pero no el más corto.
El camino más corto entre dos puntos de la esfera es un segmento
de la curva menos curva que se puede trazar en una superficie esférica:
el círculo máximo. En una pelota puedes dibujar círculos
de muchos tamaños, pero los más grandes posibles —los
círculos máximos— son los que tienen el mismo diámetro
que la pelota.
Los meridianos y el ecuador son círculos máximos de la
superficie terrestre, pero hay una infinidad de círculos máximos
posibles, orientados no sólo de Norte a Sur y de Este a Oeste,
sino en todas direcciones. Es más, dados dos puntos cualesquiera
de la superficie terrestre, siempre se puede encontrar un círculo
máximo que pasa por ambos. El segmento de círculo máximo
que los une es el camino más corto entre esos puntos.
Fíjate cómo se parece este resultado al teorema de geometría
plana que dice que entre dos puntos del plano siempre se puede trazar
una recta y que la distancia más corta entre dos puntos es el
segmento de recta que los une. En la esfera o en el plano (o, en general,
en cualquier espacio, pero eso es harina de otro costal) las curvas
que dan la distancia mínima entre dos puntos se llaman geodésicas.
Las rectas son las geodésicas del plano, los círculos
máximos son las geodésicas de la esfera. Como sería
de esperarse, en el mapa de Mercator los círculos máximos
no están representados como rectas (con excepción de los
meridianos y el ecuador).
La joya de la cartografía
Que la distancia mínima entre dos puntos de la Tierra es un segmento
de círculo máximo ya lo sabían los matemáticos
de antes de la época de Cristóbal Colón (aunque,
al parecer, Pedro Nunes lo ignoraba en 1550), pero fue hasta el siglo
XVIII cuando la técnica permitió calcular los rumbos perpetuamente
cambiantes de una ruta geodésica. Hasta entonces los marinos
se conformaron con emplear rutas de rumbo fijo.
Para enderezar los rumbos fijos Mercator enderezó primero los
meridianos convirtiéndolos en rectas verticales paralelas que
se extendían hasta el infinito. Con esta operación introdujo
una distorsión de las distancias en la dirección Este-Oeste
que aumentaba de nula en el ecuador (donde no había sido necesario
hacerles nada a los meridianos) a infinita en los polos. Al separar
los meridianos en forma creciente con la latitud, Mercator deformó
los continentes en el sentido horizontal como si fueran figuras pintadas
en una membrana de hule que se estira hacia los lados. Para corregir
la deformación se vio obligado a estirar cada grado de latitud
en la misma proporción en que había estirado los de longitud
para enderezar los meridianos. Como resultado de estas manipulaciones
las loxodromias se convertían en rectas, pero las distancias
(y por lo tanto los tamaños de los continentes) se inflaban desmesuradamente
en las latitudes superiores. Ni modo. Si quería mostrar los rumbos
fijos como rectas, tenía que sacrificar la veracidad de las distancias.
Eso quiere decir que los tamaños de los continentes en el mapa
de Mercator son puras mentiras. Alaska no es más extensa que
México ni Europa más que Sudamérica, como puedes
comprobar consultando un globo terráqueo. Pero a Mercator y sus
clientes, los marinos, no les interesaban los tamaños relativos
de las tierras, sino las direcciones relativas, y ésas sí
se conservan en el mapa de Mercator. Los cartógrafos no mienten
por maldad, sino por necesidad. Es matemáticamente imposible
hacer un mapa plano sin introducir deformaciones. El cartógrafo
escoge cómo va a mentir según el propósito de su
mapa. Mercator quería conservar las direcciones y para eso tuvo
que sacrificar las distancias.
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Sorpresas
geográficas
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La
metáfora extendida
El mapa de Mercator adquirió mucha popularidad y prestigio en
los siglos XVII y XVIII. Era el mapa de los navegantes y éstos
gozaban de mucha estimación en una época en que el barco
era el medio de transporte más socorrido, tanto para mercancías
valiosas como para ejércitos conquistadores.
Junto con su religión y cultura (y codicia y violencia, hay que
decirlo), las naciones europeas de la época colonial llevaron
a las tierras conquistadas su mapa preferido. Con el tiempo, el mapa
que Gerard Mercator ideó inocentemente en el siglo XVI para ayudar
a los navegantes, y que era uno de tantos mapas del mundo, se impuso
—con sus verdades y mentiras— como la descripción por
antonomasia de todas las tierras del orbe.
Un mapa es una metáfora. No es el mundo, sólo una representación
del mundo, e inevitablemente muestra sólo uno de los muchos aspectos
de lo representado. Si lo quieres ver desde otra perspectiva necesitas
otro mapa. Un mapa, como una metáfora, dice verdades en cierto
contexto y mentiras fuera de él.
La proyección de Mercator trascendió el mundillo de marinos
y navegantes y se empleó para todo. Extraída del contexto
en el que surgió, produjo equívocos que persisten hasta
hoy. En mi escuela había mapas colgados en las paredes. Todos
eran proyecciones de Mercator, por lo tanto durante mucho tiempo viví
convencido de que Groenlandia era la isla más grande del mundo
y de que la Antártida superaba en área a los demás
continentes juntos. ¿Te pasó a ti también?
Por supuesto, Mercator no tiene la culpa de nuestras falsas impresiones
geográficas. La culpa es de las vicisitudes de la historia, que
elevaron su mapa a una posición que ni buscaba ni se merecía,
y que hicieron olvidar a muchas personas que, como dice Lloyd A. Brown,
autor de un libro de historia de la cartografía, “no existe
el mapa ideal, bueno para cualquier -propósito; toda proyección
tiene que sacrificar la exactitud y tolerar distorsiones de uno u otro
tipo”.
Si tú también has caído en la trampa involuntaria
de Mercator, te invito a consultar un globo terráqueo y hacer
comparaciones. Te vas a llevar varias sorpresas.
Otro mapa
Y hablando de sorpresas… Hace dos años encontré en
Internet el programa Globe (se distribuye gratuitamente en esta dirección: www.beanpaste.com/BSG/globe.htm), que sirve para trazar trayectorias loxodrómicas y geodésicas
en la superficie terrestre y que usé como base para hacer los
mapas de este artículo. Entre las diversas proyecciones cartográficas
que contiene como opciones se encuentra la llamada proyección
acimutal equidistante, que resulta ser precisamente la que vi en
la pantalla de mi computadora aquel día aciago en que se me ocurrió
volar a París.
La proyección acimutal equidistante, que ideó el matemático
árabe Al-Biruni hace mil años, se hace escogiendo un centro
y proyectando el resto del mundo a su alrededor de tal manera que toda
recta trazada desde el centro sea un círculo máximo
y que las distancias desde el centro estén correctamente
representadas. Cuando orienté mi avión hacia París
en el simulador de vuelo estaba enfilando la trayectoria de distancia
mínima a París, no la de rumbo fijo. Por lo general, para
seguir una trayectoria de distancia mínima hay que cambiar de
rumbo constantemente. ¡Por eso el avión se desviaba de
la ruta indicada cuando volaba en piloto automático!
Sergio de Régules siguió una trayectoria geodésica de la física a la divulgación de la ciencia. Es autor de los libros El Sol muerto de risa, El renovador involuntario, Cuentos cuánticos y El piropo matemático. Trabaja en el Museo Universum.