Retos 304
Tangencias
Claudia Hernández García
Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca
Apolonio fue un matemático y astrónomo griego conocido por haber escrito la obra más completa sobre superficies cónicas y por crear las definiciones que hoy en día seguimos usando para elipse, parábola e hipérbola.
Hay muy poca información sobre la vida de este científico. Según Thomas Heath, uno de los mayores expertos en historia de las matemáticas griegas, Apolonio nació en Perga, hoy Turquía, hacia el 262 a. n. e.; otros autores sugieren fechas entre 246 y 221 a. n. e. Se cree que fue unos 20 años más joven que Arquímedes y que vivió en Alejandría, Egipto, donde falleció alrededor del 190 a. n. e. También sabemos que escribió otro libro llamado Tangencias, gracias a un trabajo que Papo de Alejandría, el último gran geómetra de la Antigüedad, publicó en el siglo iv.
Todos afuera
Aunque el escrito original está perdido, por el análisis que hace Papo sabemos que la intención de Apolonio fue mostrar cómo trazar un círculo que sea tangente (es decir que toque sin cortar) a 3 elementos: puntos, rectas o círculos y combinaciones de ellos. El problema de Apolonio tiene 10 casos; en esta ocasión les propongo resolver el último de ellos para los 3 círculos siguientes. No es necesario hacer los trazos con precisión; con una solución aproximada es suficiente.
Para empezar, encuentren un círculo que sea tangente a estos 3 círculos y que no contenga ninguno de ellos.
Dos afuera
El secreto para resolver cualquier reto es que lo hagamos de forma ordenada. Así que continuemos con el menor número de círculos que el nuevo círculo podría contener, o sea 1. Traza un círculo que sea tangente a los 3 y que contenga sólo 1 de ellos. Como podrás imaginar, esta porción del reto tiene 3 soluciones distintas, una para cada círculo.
Uno afuera
Continuemos con el siguiente número de círculos que puede contener el cuarto círculo, o sea 2. Traza un círculo que sea tangente a los 3 círculos y que contenga 2 de ellos. Aquí también hay 3 soluciones posibles.
Todos adentro
Ya casi terminamos de resolver el problema; sólo falta trazar un círculo que contenga los 3.
Esta disposición de círculos tiene 8 soluciones, porque son todas las formas en las que se pueden acomodar los 3 círculos negros con relación a un cuarto círculo: todos afuera (1 forma), 2 afuera y 1 adentro (3 formas), 1 afuera y 2 adentro (3 formas) y todos adentro (1 forma). Cabe mencionar que no siempre existen 8 soluciones. Por ejemplo, el problema no tiene solución cuando 1 de los círculos está contenido en otro o si están alineados.
Estos problemas dan para muchas reflexiones y para aprender mediante ensayo-error. Les propongo que los retomemos para otros elementos geométricos en números subsecuentes de la revista.
Soluciones núm. 303
Muchas formas de acomodo. Éstas son 2 formas de las muchas posibles de acomodar las piezas. Noten que en una sólo se intercambian las mitades del cuadrado, mientras que en la otra se reubicaron más piezas en comparación con el cuadrado original
Parecido a tangram. El secreto para armar más fácilmente estas piezas es fijarse en los grandes bloques triangulares que conforman el cuadrado original.
Teorema de Pick. En nuestro ejemplo podemos ver que la orilla del triángulo azul está sobre 6 puntos de la cuadrícula y dentro sólo hay 1. De acuerdo con el teorema de Pick, su área es 6 / 2 + 1 – 1, o sea 3, que es lo que queríamos comprobar.
