Retos 324

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Claudia Hernández García

Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca

Esas cosas que en la vida cotidiana conocemos como mosaicos en matemáticas se llaman teselaciones. En ambos casos las piezas (o teselas) que los conforman suelen ser figuras geométricas, y la condición es colocarlas sin dejar huecos y sin traslaparlas.

Desplazar sin girar

En este mosaico hecho con rombos podemos tomar cualquier sección y desplazarla horizontal o verticalmente para hacerla coincidir con otra. Por ejemplo, la sección amarilla coincidirá con la verde con sólo moverla un poco a la derecha, y si la movemos hacia arriba y tantito a la derecha coincidirá con la azul. A esta característica se le llama simetría traslacional.

Para el primer reto encuentren al menos otras diez posiciones a las que se puede desplazar la sección amarilla. ¿Cuántas habrá en total?

Ahí estás

Durante muchos años la comunidad matemática se preguntó si existen mosaicos sin simetría traslacional, donde no se pueda hacer coincidir una sección con otra con sólo desplazarla. En 1974 el físico inglés Roger Penrose encontró tres mosaicos diferentes. Uno de ellos consta de dos piezas conocidas como flecha y papalote.

En 1976 el matemático francés John Conway agregó dos arcos de circunferencia a cada pieza y puso la condición de que las curvas deben mantenerse conectadas conforme se agregan piezas. Esto evita que se forme un mosaico de rombos como el del reto anterior.

Las dos piezas se pueden combinar de las siguientes siete maneras. Aunque cada una tiene su nombre, genéricamente se les llama vértices porque todas tienen un punto interior en el que coinciden todas las piezas que las conforman.

El segundo reto viene en dos partes. Una consiste en que encuentren cada vértice al menos una vez en el siguiente mosaico de Penrose. Si encontrarlos sólo una vez les parece poco traten de averiguar cuántos hay de cada uno.

La segunda parte del reto es que ubiquen una sección del mosaico y comprueben que no pueden hacerla coincidir con otra con sólo desplazarla. Quizá coincida una parte, como en los soles marcados con puntos rojos, pero tendría que poder hacerse con secciones de todos los tamaños.

Errores

Es muy común que haya errores cuando se arma un mosaico de Penrose sin una imagen de referencia, y aun teniéndola un descuido puede provocarlos. Esto pasó en Universum en 1992 cuando se armó el mosaico en Imaginario matemático: en un momento de distracción las piezas de un Sol se colocaron mal y el mosaico contiene algunos rombos. Les invito a que visiten el museo y los encuentren, o que lo intenten en esta foto, en: https://bit.ly/4mwL0HF. ¿Otra pista? Busquen cerca del Batman. Y pues eso… nos leemos el siguiente mes.