Retos 293

Primos y no consanguíneos

Claudia Hernández

Los números primos se definen como aquellos que sólo tienen dos divisores, el uno y ellos mismos. Se los estudia con mucho afán porque son los átomos de la aritmética: así como toda la materia está compuesta de átomos, todos los números están compuestos de primos. Bueno, no todos los números, pero sí todos los números naturales del 2 en adelante. El 1 se queda fuera de esta aseveración por pura conveniencia, para que el teorema fundamental de la aritmética no tenga excepciones. Este teorema dice que cualquier número natural es primo o se puede expresar de manera única como producto de números primos. Por ejemplo, el 18, que no es primo, se puede expresar como 2 × 3 × 3. Otras maneras de escribir 18 es 3 × 3 × 2 y 3 × 2 × 3, pero no se considera que sean distintas porque al final son los mismos factores la misma cantidad de veces. Al 1 no se le considera primo porque sólo tiene un divisor y puede crear confusión cuando se lo usa para factorizar. Por ejemplo, 4 se puede factorizar como 1 × 2 × 2 y como 1 × 1 × 2 × 2; en ambos casos aparecen los mismos factores, pero no la misma cantidad de veces. El 1 es un número especial por algunas razones, pero esa es otra historia.

Círculo, tache, círculo…

Una manera de encontrar los números primos es por medio de la criba de Eratóstenes; sí, es ese mismo señor que calculó el radio de la Tierra hace más de 2 000 años. El método consiste en escribir los números en una retícula de 10 números por renglón y tantos renglones como se quiera. El primer paso consiste en ignorar al 1 por lo que ya dijimos, el segundo paso consiste en circular al 2 y tachar todos sus múltiplos, el tercero consiste en circular al 3 y tachar todos sus múltiplos. Como el 4 ya está tachado, el cuarto paso consiste en encontrar el siguiente número sin tachar, es decir el 5, circularlo y tachar todos sus múltiplos. Y así hasta terminar. Los números encerrados en círculos son primos y los tachados, pues no lo son. Siguiendo esta lógica, en una cuadrícula de 10 × 10 que contiene los números del 1 al 100, ¿en qué paso dejamos de tachar números?

¿Cuántos de a 2?

Como seguro ya bosquejaste la criba de Eratóstenes para responder la pregunta anterior, la siguiente está bien fácil: ¿cuántos números primos de 2 cifras hay?

Intentos fallidos

Desde la época de Euclides sabemos que hay una cantidad infinita de números primos, y se han hecho muchos intentos por encontrar una fórmula para obtenerlos. Uno de ellos fue esta función polinómica desarrolla por el matemático suizo Leonard Euler en 1772.

n2 + n + 41

Euler comprobó que sí se obtienen números primos para ciertos valores de n, pero no para otros. ¿Podrías decir un valor de n para el que la fórmula seguramente no arrojará un número primo?

A la fecha no se ha encontrado una función que sólo genere primos o una que genere todos los primos, pero tampoco se ha demostrado que dicha función no pueda existir. Quizá algún día la encuentren… o quizá no.