29 de marzo de 2024 29 / 03 / 2024

Retos 295

Parteaguas de colores

Claudia Hernández

Shutterstock

"Un estudiante me pidió que le diera razón de un hecho que yo desconocía y que aún desconozco. Él dice que si una figura se divide de cualquier manera y las regiones se colorean de modo que aquellas con una línea divisoria común tengan colores diferentes, se requieren 4 colores y no más. El siguiente es un ejemplo que requiere de 4 colores. Creo que no se puede encontrar un caso que necesite 5 o más. ¿Qué dices? ¿Se ha comprobado si es cierto? Mi estudiante dice que lo supuso mientras coloreaba un mapa de Inglaterra. Entre más lo pienso, más evidente me parece. Si respondes con un caso muy simple que me convierta en un animal estúpido, creo que debo hacer lo que hizo la esfinge."

Retos

Inglaterra en 3 colores

El 23 de octubre de 1852 el matemático británico Augusto De Morgan le envió esta inquietud a su amigo, el matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton. El estudiante que menciona es Frederick Guthrie, a cuyo hermano Francis le surgió la duda mientras coloreaba el mapa de su país. Y así fue como nació lo que hoy conocemos como el teorema de los 4 colores, que dice que no se necesitan más de 4 colores para pintar cualquier mapa con cualquier número de regiones, de manera que no se repita el mismo color en ninguna de las regiones vecinas (las regiones vecinas son aquellas que comparten toda una frontera; si sólo se tocan en un punto no se consideran vecinas). Éste, por ejemplo, es un mapa de Inglaterra dividido en regiones que se puede pintar con sólo 3 colores. Inténtalo.

 en 3 colores

Demostración de colores

Ahí donde la ves, la pregunta estuvo 124 años sin respuesta. Durante ese tiempo muchas personas dedicadas a la rama de las matemáticas conocida como teoría de grafos trataron de resolverla sin éxito. La demostración llegó finalmente en 1976 de la mano de Kenneth Appel y Wolfgang Haken, de la Universidad de Illinois, pero estuvo rodeada por mucha controversia, porque la verificación de que todas las configuraciones que encontraron podían pintarse con 4 colores es tan laboriosa que no puede hacerse a mano, y tuvieron que emplear una computadora. Parte de la comunidad matemática alegó que no era riguroso fiarse de una máquina. Aunque aún hay quien busca una demostración más elegante, sin computadoras, este teorema y su demostración asistida no dejan de ser un parteaguas en la historia de las matemáticas. Dibuja un mapa sencillo que forzosamente requiera 4 colores.

México colorido

Además de su historia, este teorema es interesante porque está asociado con una actividad que parece no tener nada que ver con las matemáticas: colorear mapas. Su esencia matemática radica en cómo asignamos los colores para que los países vecinos se distingan claramente.¿Se podrá pintar un mapa de México con sólo 3 colores?

La clave está en los números
Cada número representa la cantidad de rectángulos que se traslapan en dicho lugar. Por lo tanto, al signo de interrogación le corresponde el número 4.

El que no va
La composición de cuadrados es la diferente al menos por dos razones. Una es que es la única en la que una de las figuras pequeñas está completamente contenida en la más grande. La otra es que es la única en la que la figura más grande no se forma al unir las dos pequeñas.

Regenbogen
Esta secuencia sigue 2 reglas de orden: el alfabético y el de los colores del arcoíris. Entonces, los siguientes 3 elementos son la letra E en azul, la F en índigo y la G en violeta. Hay varias posibilidades de color para la H: podría ir en rojo para repetir el orden de los colores o en índigo para ir ahora en orden inverso, por ejemplo. Por cierto, Regenbogen significa arcoíris en alemán.

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