Retos 335

Las tres opciones

Claudia Hernández García

Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca

Cuando una conjetura se demuestra rigurosamente adquiere estatus de teorema. Este cambio es uno de los momentos más importantes en matemáticas, porque la afirmación deja de ser una posibilidad y se convierte en un resultado que llegó para quedarse.

Algunas demostraciones constan de unos pocos pasos; otras se desarrollan en cientos y cientos de páginas. El caso más extremo es el del Teorema Enorme, cuya prueba fue elaborada por alrededor de cien personas a lo largo de décadas y está repartida en artículos científicos que suman unas ¡15 000 páginas!

Camino directo

Para el primer reto les propongo hacer su propia demostración de la siguiente afirmación: sumar 3 números enteros consecutivos siempre da como resultado un múltiplo de 3.

¿Creen que sea cierta o falsa? Esbocen su respuesta con unos cuantos ejemplos.

Para hacer la demostración les propongo seguir estos pasos:

1. Escriban los tres números consecutivos de manera general. Si un número cualquiera generalmente se denota como n, ¿cómo escribirían el siguiente y uno después de dos lugares?
2. Ahora súmenlos y factoricen el resultado.
3. ¡Listo! Lo único que faltaría es escribir qed, el acrónimo de quod erat demonstrandum, que en latín significa “Lo que se quería demostrar”.

Contraejemplo

A la fecha no se conoce ninguna fórmula que produzca sólo números primos, y miren que se ha buscado. Uno de los intentos más conocidos es éste de Leonhard Euler: n² + n + 41.

Al sustituir n por 0 nos da 41, que es primo. Si hacemos n = 1 obtenemos 43, que también es primo, y lo mismo con n = 3, 4, 5 y más valores.

Un ojo entrenado puede detectar de inmediato que la fórmula no arrojará un número primo para n = 41. ¿Podrían argumentar por qué sin hacer los cálculos?

¡Muy bien! Sin embargo, el reto es encontrar el menor valor para el que se obtiene un número que no es primo. Por supuesto que pueden encontrar la respuesta en internet, pero la búsqueda con papel, lápiz y calculadora es un buen pretexto para reflexionar sobre el reto que implica determinar si un número es primo o compuesto.

Ni uno ni otro

Por siglos se pensó que en matemáticas las afirmaciones sólo podían ser o verdaderas o falsas. A principios del siglo xx Bertrand Russell publicó esta famosa paradoja que puso de cabeza a la comunidad matemática:

• En un pueblo hay un barbero que sólo rasura a los hombres que no se rasuran a sí mismos. ¿El barbero puede rasurarse a sí mismo? Si no se rasura solo, entonces debe ir con él mismo a rasurarse, pero si se rasura solo no podría ir con él mismo a rasurarse.

Léanlo las veces que necesiten porque el último reto es que extrapolen la estructura de esta paradoja a otro caso, digamos a uno que tenga que ver con servir helado.

Pues resulta que este problema es sistémico y, por los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel, sabemos que es imposible crear un sistema lógico deductivo perfecto y que siempre habrá afirmaciones imposibles de demostrar. Nos leemos el siguiente mes… aunque no pueda demostrarlo.