Retos 303

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Claudia Hernández García

Ilustración Santiago Solís Montes de Oca

A finales del siglo xix los monjes de un monasterio en lo que hoy es Estambul, Turquía, notaron que uno de sus libros litúrgicos tenía rastros de un texto acompañado de figuras geométricas. Una vez que los filólogos lo estudiaron a detalle se llegó a la conclusión de que este palimpsesto (manuscrito antiguo que conserva huellas de una escritura anterior borrada artificialmente) contenía siete trabajos de Arquímedes: Sobre el equilibrio de los planos, Sobre las espirales, Medida de un círculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes, El método de los teoremas mecánicos y la copia más completa que existe del Stomachion.

Muchas formas de acomodo

El Stomachion de Arquímedes está compuesto por 11 triángulos, dos cuadriláteros y un pentágono. Estas 14 piezas pueden acomodarse para conformar un cuadrado como el que se ve en la imagen siguiente. El primer reto consiste en formar el mismo cuadrado acomodando las piezas de otra manera. Las piezas se pueden rotar y voltear sin restricción.

Parecido a tangram

Como ya se habrán imaginado, el rompecabezas del Stomachion funciona igual que un tangram, así que las piezas se pueden acomodar para armar otras formas. El siguiente reto consiste en armar una corona y un triángulo rectángulo. Si analizan la imagen anterior, la corona está prácticamente resuelta y el triángulo también; sólo hay que poner un poquito más de creatividad.

Teorema de Pick

Otra peculiaridad de este rompecabezas es que todos los vértices de las piezas caen en intersecciones de una cuadrícula de 12 x 12, por lo que podemos calcular sus áreas más o menos rápido. Por ejemplo, si tomamos un cuadrado como unidad, del triángulo azul podemos decir que tiene tres unidades de área.

Pero hay una forma todavía más sencilla de hacer este cálculo. En 1899 el matemático austriaco Georg Alexander Pick demostró que el área de los polígonos que tienen los vértices sobre una cuadrícula es igual a la mitad del número de puntos de la cuadrícula que están en el borde del polígono (B) más el número de puntos que están en el interior (I) menos 1, o puesto como fórmula:

El último reto consiste en comprobar la fórmula para alguna de las figuras del Stomachion. Ojo: es un teorema demostrado, o sea que es verdadero sí o sí. El reto entonces está en idear (o recordar) la forma de calcular las áreas de las figuras para poder contrastarlas con el resultado de la fórmula.