Retos 330

Caminar por otro camino

Claudia Hernández García

Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca

El poder del pensamiento matemático es que nos abre a la posibilidad de detenernos a entender, analizar y tratar de resolver un problema de manera lógica y estructurada, y con ello nos empoderamos para trazar nuestros propios caminos.

Va un ejemplo. De los múltiplos de 9 con 4 dígitos menores que 2 000, ¿cuántos tienen dígitos distintos de 0 y distintos entre sí?

El camino seguro

Una manera de resolverlo es revisar la lista de todos los múltiplos de 9 entre 1 001 y 2 000 —esos cumplen las primeras tres condiciones— para verificar cuáles cumplen las otras dos y contarlos… porque, ojo, el problema pregunta cuántos, no cuáles.

Podrían buscar una lista en internet, tachar los que no cumplen las condiciones y contar los no tachados. Les propongo que lo hagan así para que comprueben si es tan fácil como suena. Guarden esa lista porque podría ser útil.

El alternativo

Otra forma de empezar es darnos cuenta de que podemos descartar números sin siquiera verlos. ¿Los números entre 1 000 y 1 099 cumplirán las condiciones? ¿Qué hay de los números entre 1 100 y 1 200?

Un resultado matemático necesario para avanzar por este camino es recordar que todos los múltiplos de 9 tienen dígitos que suman 9 o múltiplos de 9. (Al respecto, consulten en www.comoves.unam.mx “La magia y las matemáticas”, de Ignacio Barradas, número 19, junio de 2000.)

Fíjense que todos los números entre 1 200 y 1 299 empiezan con 1-2, o sea que ya llevamos 3 unidades del total de 9, 18 o 27 que deberían sumar los 4 dígitos de aquellos que son múltiplos de 9. Entonces, los dos dígitos restantes deben sumar seis (0 + 6, 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3) o 15 (6 + 9, 7 + 8), porque no podrían sumar 24, y eso nos deja con estos candidatos: 1 206, 1 260, 1 215, 1 251, 1 224, 1 242, 1 233, 1 269, 1 296, 1 278 y 1 287. Fácilmente podemos comprobar que sólo los últimos 4 números cumplen todas las condiciones.

Para los números del 1 301 al 1 399, el 1-3 nos da una suma inicial de 4, y los otros dos dígitos deben sumar 5 o 14. Estoy segura de que no tendrán ninguna dificultad para aplicar el método a ésta y al resto de las centenas hasta llegar al 2 000.

Ir más allá

Con la lista que encontraron en internet pueden comprobar su proceso, o sea si obtuvieron todos los que son y si son todos los que obtuvieron. Pero también puede servir para contestar preguntas como estas otras: ¿en qué centena hay más números que cumplen las condiciones? ¿En cuál hay menos? ¿Por qué será que en todas las centenas hay una cantidad par de números?

Y es que el empoderamiento también nos motiva a buscar patrones y a siempre hacernos nuevas preguntas. ¡Hasta el siguiente mes!