Retos 333

La conjetura que sueña con ser teorema

Claudia Hernández García

Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca

En matemáticas podemos encontrar muchas certezas, pero también hay un montón de preguntas abiertas. En particular, hay aseveraciones que parecen ser verdad porque funcionan en millones de casos, pero nadie ha podido encontrar una demostración matemática que lo garantice, ni tampoco se ha encontrado un contraejemplo que lo refute.

A estas ideas se les llama conjeturas.

Goldbach

Quizá la más famosa es la que escribió Christian Goldbach en una carta a su amigo Leonhard Euler en 1742. Dice así: todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos.

Este primer reto viene en dos partes. La primera consiste en encontrar una forma de escribir todos los números pares del 4 al 50 como la suma de 2 primos, pero sin usar nunca el número 11.

Luego hay que encontrar un número par que pueda escribirse como la suma de dos números primos de tres formas distintas. Aquí sí se puede usar el 11.

De sumas a sumas

Aunque la conjetura no ha podido demostrarse, hay algunos avances. Antes de que les cuente más, es necesario recordar un resultado que muy probablemente vieron en la prepa. Si no lo han visto, están a nada de hacerlo.

El segundo reto es identificar si es par o impar lo que resulta de sumar a) dos números pares, b) dos números impares y c) uno par con uno impar.

Pista: en notación matemática los números pares se escriben como 2n y los impares como 2n + 1.

Un paso más cerca

En 2013 el matemático peruano Harald Helfgott demostró la llamada conjetura de Goldbach débil, que dice que todo número impar mayor que 5 puede escribirse como suma de tres números primos. Les invito a que lo comprueben.

Que sea la conjetura débil significa que este resultado es una consecuencia directa de la conjetura de Goldbach. El reto es argumentar por qué.

Si no saben por dónde empezar, piensen esto: a un número impar mayor que 5, ¿le podemos restar 3? Al restárselo, ¿lo que queda es par o impar? ¿Qué nos dice la conjetura de Goldbach de los números pares? ¿El 3 es número primo?

Aunque este resultado es prometedor no demuestra la conjetura de Goldbach, sino que presupone que es verdadera. Para saber si es así hay varios caminos. El directo consiste en encontrar los axiomas o teoremas de donde se pueda deducir o concluir de manera confiable. Otro camino consiste en suponer que es falsa y llegar a una contradicción, lo que en matemáticas se llama demostración por reducción al absurdo. O se puede buscar un contraejemplo, cosa muy difícil porque con la ayuda de procesadores poderosísimos el matemático Tomás Oliveira e Silva ha comprobado que es cierta para todos los números hasta el 4 x 1018 (cuatro trillones).

Pero hay un cuarto camino: el llamado método probabilístico. Se ha demostrado que, estadísticamente, a medida que los números crecen hay cada vez más combinaciones de primos para formarlos. Esto sugiere que es “casi imposible” que la conjetura sea falsa, pero en matemáticas ese “casi” no cuenta como verdad.

En fin, con este nivel de alucine es suficiente por este mes. Nos leemos el siguiente.