Retos 334

La conjetura que sueña con ser teorema. Parte 2

Claudia Hernández García

Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca

El mes pasado les conté que una conjetura es una suposición que parece ser cierta, pero que aún no ha sido ni demostrada ni refutada. En ese número les hablé de la más célebre, la conjetura de Goldbach, y ahora les platicaré sobre otra también muy famosa: la de Collatz.

En 1937 el matemático Lothar Collatz la presentó así:

• Partimos de cualquier número entero positivo.
• Regla 1. Si es par, se divide a la mitad.
• Regla 2. Si es impar, se multiplica por 3 y se le suma 1.
• Al resultado se le aplica nuevamente la regla que corresponda.

No importa de qué número partamos, siempre llegaremos al número 1. Esa es la conjetura.

Tus propios cálculos

Obviamente, el primer reto consiste en pedirles que trabajen con algunos ejemplos y que verifiquen que la suposición se cumple. Pero les pediré que vayan un pasito más allá: elijan algunos números de los que están en esta tabla y comprueben que la cantidad de pasos que se indica es la que se requiere para llegar al número 1.

Para que no haya confusión acordemos que elegir un número es el paso 0. De esta forma, el total de pasos coincidirá con la cantidad de veces que apliquen alguna de las dos reglas a los números.

Encontrar patrones

Vuelvan a la tabla y fíjense en los 4 números que requieren menos pasos para llegar al 1 (vamos a dejar fuera de este análisis al 1, que requiere 0 pasos). Encuentren su característica en común. No sigan hasta que identifiquen algo. Si quieren más pistas, para llegar del 32 al 1 se requieren 5 pasos, para el 64, 6 pasos y para el 128, 7 pasos.

¿Lo vieron? Ok, a la siguiente pregunta. ¿Cómo se relacionan las potencias de 2 con la cantidad de pasos que se requieren para llegar a 1?

Montaña rusa matemática

Además de la cantidad de pasos, otro aspecto contraintuitivo de esta conjetura es que no hay regla para el máximo valor que aparece en las secuencias. Por ejemplo, tanto para el 7 como para el 9 el mayor número que alcanzan es 52, aunque llegan a él por caminos distintos y en diferente cantidad de pasos. Les invito a hacer los cálculos para comprobarlo. Para el 16, el valor más alto de la secuencia es él mismo, porque ésta es estrictamente decreciente desde el primer paso.

De la tabla, la secuencia del número 15 es la que alcanza el mayor valor; el último reto es encontrar ese valor. Pista: es un número de 3 cifras.

Como pueden comprobar fácilmente, cuando la secuencia llega a 1 el proceso entra en el bucle infinito 4-2-1 (1 → 4 → 2 → 1). Las computadoras han verificado que esto pasa en miles de millones de casos, pero un montón de ejemplos no bastan. Hasta que se demuestre matemáticamente que todos los números quedarán atrapados en este bucle o se encuentre uno que logre escapar, la propuesta de Collatz seguirá siendo una conjetura.

¡Nos leemos el siguiente mes!