Retos 325

Elementos clave

Claudia Hernández García

Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca

Las matemáticas son una ciencia en la que no hay experimentos sino demostraciones. Y así como no existe un método científico per se tampoco hay una receta para demostrar cosas, aunque sí hay algunos elementos que constantemente aparecen en el proceso.

Esbozar

Casi siempre comenzamos por imaginar cómo podríamos resolver lo que se plantea, y aunque se trate de una corazonada hay que estructurarla y justificarla, justo como harán para el primer reto.

Observen las siguientes retículas y argumenten si se pueden cubrir con fichas de dominó sin dejar huecos.

Abstraer

El reto puede resolverse aun sin fichas de dominó, porque todas tienen una propiedad relevante cuando se trata de cubrir superficies. Antes de seguir leyendo piensen cuál podría ser.

Tras este ejercicio de abstracción seguro concluyeron que no se trata de la cantidad de puntos que tienen ni del tamaño de las fichas, sino de su proporción: todas son de 2 unidades de largo por 1 unidad de alto, o de 2 × 1.

Generalizar

Hasta el momento han logrado obtener estos dos resultados particulares (coloquen sobre las líneas las palabras sí/no según corresponda):

• La cuadrícula de 4 × 5 __________ se puede cubrir con fichas de 2 × 1.
• La cuadrícula de 5 × 5 __________ se puede cubrir con fichas de 2 × 1.

Bueno, pues en matemáticas los casos particulares pueden ayudarnos a obtener resultados generales. ¿Cómo debería ser una retícula de m × n para que pueda cubrirse con rectángulos de 2 × 1?

El contexto es esencial para identificar el significado de las letras. Al inicio etiqueté las retículas como a y b para distinguirlas, pero ahora estoy usando m y n pensando en que las letras pueden representar diferentes valores y porque esos valores dan información sobre el área de la retícula.

Si necesitan más pistas consideren estas preguntas guía: ¿cómo es la cuadrícula cuando m y n son pares? ¿Y si sólo una de las dos es par? ¿Y si las dos son impares?

Probar

Por muy convincente que sea un argumento siempre es buena idea verificarlo. ¿Cuánta seguridad tienen en su respuesta al reto anterior? Vamos a ponerlo a prueba en una retícula harto conocida: el tablero de ajedrez.

No les pregunto si se puede cubrir con rectángulos de 2 × 1 porque seguro ya lo saben.

El verdadero reto es cuando le quitamos dos esquinas. Aunque queda una composición que no es el típico rectángulo sigue teniendo una cantidad par de cuadrados (pista útil para el reto anterior).

¿Pueden cubrirse estos dos tableros de 62 cuadrados con rectángulos de 2 × 1? Si necesitan una pista fíjense en los colores que cubre un rectángulo de 2 × 1.

Sí, en matemáticas no es la nueva evidencia sino los contraejemplos los que luego nos obligan a replantearnos lo que creíamos.

Y pues eso. ¡Hasta el próximo mes!