Retos 326
Tetrominós
Claudia Hernández García
Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca
Cuando unimos 2 cuadrados por cualquiera de sus lados obtenemos la estructura de las fichas de dominó (también podríamos pegarlos por las esquinas, pero esa es otra historia).
Aunque se ven distintas ambas formas son equivalentes porque basta con rotar una para obtener la otra.
Luego, con 3 cuadrados podemos armar estas dos formas, que claramente no son equivalentes.
Con cuatro
Con un cuadrado extra la cosa se va poniendo más interesante. El primer reto consiste en encontrar las diferentes figuras que se pueden armar con 4 cuadrados. Como antes, la única restricción es que sólo pueden pegarse por los lados y no por las esquinas.
A todas estas figuras se les llama tetrominós, una combinación del prefijo griego tetra, que significa “cuatro”, y la palabra dominó.
Si sospechan que las han visto en algún videojuego tienen toda la razón: son las piezas con las que se juega el Tetris. Ahora bien, el Tetris usa dos figuras adicionales a las cinco básicas (o libres, como en realidad se les dice) porque en el juego la L y la S no pueden voltearse para obtener la J y la Z, y viceversa. Si no saben a qué me refiero observen con más detenimiento su solución al reto anterior.
De hecho, los tetrominós se asocian con letras: I, O, T, L o J y S o Z. Seguro que pueden deducir qué letra le corresponde a cada uno.
Un huequito
Un juego completo de 5 tetrominós libres consta de 20 cuadrados, y se sabe que no se pueden acomodar para formar un rectángulo. Pero sí se puede hacer lo que les propongo como segundo reto: usar los cinco tetrominós, más un cuadrado que quedará vacío, para formar un rectángulo de 3 × 7.
Si quieren comprobar que no es posible formar un rectángulo de 20 cuadrados con los 5 tetrominós y no quieren hacerlo por ensayo y error el argumento es muy similar a la respuesta del reto “Probar” del número 325. Coloreen un rectángulo de 4 × 5 y cada uno de los tetrominós como si fueran tableros de ajedrez y verán que la cantidad de cuadrados blancos o negros en el rectángulo no coincide con la suma de los cuadrados de los tetrominós.
Dos juegos
Con 2 juegos de 5 tetrominós sí se pueden armar 2 rectángulos diferentes, uno de 4 × 10 y uno de 5 × 8, sin dejar huecos. El último reto es que averigüen cómo hacerlo.
Una última sugerencia: no tengan empacho en trazar los tetrominós en una hoja de papel y recortarlos para que les sea más sencillo armar los rectángulos.
¡Nos leemos el siguiente mes!
Soluciones núm. 325
Esbozar. La retícula a se puede cubrir con fichas de dominó porque en cada fila caben exactamente dos fichas.
Como cada una ocupa dos cuadrados siempre estamos cubriendo una superficie de área par. Sin importar cómo acomodemos las fichas, en la retícula b quedará un espacio vacío porque su área de 25 cuadrados es impar.
Generalizar. En una retícula de m x n al menos una de las dos cantidades debe ser par para que el producto, o sea el área o el número total de cuadrados, sea un número par.
Probar. Aunque ambos tableros tienen una cantidad par de cuadrados el segundo no se puede cubrir con rectángulos de 2 × 1. Cada rectángulo siempre va a cubrir un cuadrado blanco y uno negro; no hay manera de que cubra dos blancos o dos negros. Al quitar las esquinas diagonalmente opuestas quedó una composición de 30 cuadrados blancos y 32 negros, y eso implica que siempre sobrarán dos cuadrados negros.
Retos 326
Tetrominós
Claudia Hernández García
Ilustración: Santiago Solís Montes de Oca
Cuando unimos 2 cuadrados por cualquiera de sus lados obtenemos la estructura de las fichas de dominó (también podríamos pegarlos por las esquinas, pero esa es otra historia).
Aunque se ven distintas ambas formas son equivalentes porque basta con rotar una para obtener la otra.
Luego, con 3 cuadrados podemos armar estas dos formas, que claramente no son equivalentes.
Con cuatro
Con un cuadrado extra la cosa se va poniendo más interesante. El primer reto consiste en encontrar las diferentes figuras que se pueden armar con 4 cuadrados. Como antes, la única restricción es que sólo pueden pegarse por los lados y no por las esquinas.
A todas estas figuras se les llama tetrominós, una combinación del prefijo griego tetra, que significa “cuatro”, y la palabra dominó.
Si sospechan que las han visto en algún videojuego tienen toda la razón: son las piezas con las que se juega el Tetris. Ahora bien, el Tetris usa dos figuras adicionales a las cinco básicas (o libres, como en realidad se les dice) porque en el juego la L y la S no pueden voltearse para obtener la J y la Z, y viceversa. Si no saben a qué me refiero observen con más detenimiento su solución al reto anterior.
De hecho, los tetrominós se asocian con letras: I, O, T, L o J y S o Z. Seguro que pueden deducir qué letra le corresponde a cada uno.
Un huequito
Un juego completo de 5 tetrominós libres consta de 20 cuadrados, y se sabe que no se pueden acomodar para formar un rectángulo. Pero sí se puede hacer lo que les propongo como segundo reto: usar los cinco tetrominós, más un cuadrado que quedará vacío, para formar un rectángulo de 3 × 7.
Si quieren comprobar que no es posible formar un rectángulo de 20 cuadrados con los 5 tetrominós y no quieren hacerlo por ensayo y error el argumento es muy similar a la respuesta del reto “Probar” del número 325. Coloreen un rectángulo de 4 × 5 y cada uno de los tetrominós como si fueran tableros de ajedrez y verán que la cantidad de cuadrados blancos o negros en el rectángulo no coincide con la suma de los cuadrados de los tetrominós.
Dos juegos
Con 2 juegos de 5 tetrominós sí se pueden armar 2 rectángulos diferentes, uno de 4 × 10 y uno de 5 × 8, sin dejar huecos. El último reto es que averigüen cómo hacerlo.
Una última sugerencia: no tengan empacho en trazar los tetrominós en una hoja de papel y recortarlos para que les sea más sencillo armar los rectángulos.
¡Nos leemos el siguiente mes!
Soluciones núm. 325
Esbozar. La retícula a se puede cubrir con fichas de dominó porque en cada fila caben exactamente dos fichas.
Como cada una ocupa dos cuadrados siempre estamos cubriendo una superficie de área par. Sin importar cómo acomodemos las fichas, en la retícula b quedará un espacio vacío porque su área de 25 cuadrados es impar.
Generalizar. En una retícula de m x n al menos una de las dos cantidades debe ser par para que el producto, o sea el área o el número total de cuadrados, sea un número par.
Probar. Aunque ambos tableros tienen una cantidad par de cuadrados el segundo no se puede cubrir con rectángulos de 2 × 1. Cada rectángulo siempre va a cubrir un cuadrado blanco y uno negro; no hay manera de que cubra dos blancos o dos negros. Al quitar las esquinas diagonalmente opuestas quedó una composición de 30 cuadrados blancos y 32 negros, y eso implica que siempre sobrarán dos cuadrados negros.
